Beiche studierte Bauingenieurwesen und trat 1969 nach der Staatsprüfung für den höheren bautechnischen Verwaltungsdienst in den Dienst der Stadt Stuttgart. In insgesamt 38 Jahren bei der Stadtverwaltung hatte er verschiedene leitende Positionen inne, seit 1994 war er Leiter des Tiefbauamts, gleichzeitig seit 1995 Erster Betriebsleiter des Eigenbetriebs Stadtentwässerung Stuttgart sowie ab 2001 Leiter des Technischen Referats beziehungsweise nach einer Reorganisation Leiter des Referats Tiefbau und Stadtentwässerung.

1985 wurde ihm die Bezeichnung Honorarprofessor verliehen. Beiche gibt bis heute Vorlesungen im Fach Tunnelbau an der Universität Stuttgart.